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Os Elementos de Euclides, edição do ano C

Publicado em 09/06/2005 | Matemática

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Os Elementos de Euclides é uma das obras mais importantes da cultura ocidental. Esta obra é uma compilação e sistematização do conhecimento matemático da época clássica. O primeiro livro começa com uma enunciação de 23 definições, 5 postulados e 5 noções básicas. Seguem-se dezenas de proposições, que o autor tentou provar rigorosamente, apoiando cada passo em resultados anteriores ou nos axiomas (postulados e noções básicas). Apesar de nem todas as demonstrações estarem formalmente correctas (algumas vezes Euclides faz saltos de raciocínio que não são suportados pelos axiomas), Os Elementos é considerado o exemplo clássico da introdução de um sistema axiomático e constitui ainda hoje o paradigma do rigor na escrita matemática.

Os Elementos é constituído por 13 "livros" (a antiga denominação para capítulos). Os seis primeiros tratam essencialmente de geometria no plano. Os livros VII a IX tratam questões de aritmética e teoria de números. O livro IX contem o resultado conhecido como “segundo teorema de Euclides” em que é provada a existência de infinitos números primos. No livro X analisam-se vários aspectos de grandezas irracionais e os livros XI a XIII estudam questões relacionadas com a geometria dos sólidos.

O impacto desta obra foi de tal importância que, durante cerca de 2000 anos, Os Elementos de Euclides foram a obra de referência  em todos os estudos de matemática. É uma obra prima da Matemática e é mesmo muitas vezes referida, a seguir à Bíblia, como a obra que mais vezes foi traduzida e estudada, contando com mais de mil edições.

Mas como é que essa obra chegou até nós? Será que se comprarmos uma cópia de Os Elementos numa livraria ou através da internet, levamos para casa uma tradução do original grego, escrito cerca do ano 300 antes de Cristo? Infelizmente, não é bem assim.

Papiros e pergaminhos

O material principal para escrita utilizado nessa altura era o papiro. O papiro é uma planta ( Cyperus papyrus ) que crescia no Nilo. Era preparado em rolos de cerca de 10 metros de fibras interlaçadas ortogonalmente e secas sobre pressão. O papiro é um bom material de escrita, mas deteriora-se com o uso e mesmo armazenado apodrece com relativa facilidade, a não ser em condições de baixa humidade.

Por essas razões, uma obra escrita sobre este material só poderia sobreviver se fosse copiada regularmente para novos rolos de papiro. Como esta tarefa era morosa e com custos elevados, só se justificava para obras de elevado valor. E para essas obras, como o caso de Os Elementos , outros problemas se levantavam. De cada vez que o texto era copiado, o escriba poderia introduzir erros. Por outro lado, um matemático que copiasse o trabalho seria tentado a modificar ou acrescentar material que julgasse importante.

Assim, até à cópia completa mais antiga que chegou até nós (888 d.C.), a obra Os Elementos deve ter sido copiada inúmeras vezes. Passando pela invenção do livro encadernado (Séc. II d.C.) que veio substituir os rolos, e pela generalização da utilização do mais durável pergaminho em vez do papiro. O exemplar que perdurou fazia parte da biblioteca do Bispo Arethas de Caesarea, Cappadocia (na actual Turquia), e foi baseado numa edição com comentários e adendas de Theon de Alexandria, matemático do Século IV.

euclidesvaticano

Em 1808 foi descoberto na Biblioteca do Vaticano Link externo um exemplar de Os Elementos datado do Século IX ou X, mas baseado numa edição anterior à edição de Theon. Conseguiu-se assim detectar quais tinham sido as interpolações que Theon tinha introduzido no texto.

E estas eram as mais antigas edições conhecidas de Os Elementos. Note-se que o ano 888 d.C. pode parecer muito longínquo, mas entre o ano em que se pensa que o texto original foi escrito (300 a.C.) e 888 d.C. passaram 1188 anos, mais do que os 1117 anos que separam 2005 do ano 888. 

A contribuição da Arqueologia

Oxyrhynchus (o nome provem de um peixe do Nilo) foi uma cidade situada cerca de 180km a sul do Cairo, num canal a Oeste do Nilo, habitada por descendentes de colonos gregos, entre 250 a.C. e 645 d.C. . Estaria hoje esquecida, como centenas de outras cidades do período clássico se não fosse pelas suas... lixeiras. De facto, os habitantes de Oxyrhynchus tiveram por hábito, durante centenas de anos, deitar o seu lixo em lixeiras situadas em redor da cidade. Esse “lixo” incluía milhares de papiros usados. Na região a ausência de pluviosidade   possibilitou que esses papiros ficassem sobre camadas de   areias, alguns durante 2000 anos, conservados.

No final do século XIX, os papiros começaram a ser recuperados. Incluíam obras conhecidas e outras que se julgavam perdidas para sempre. Incluíam recibos, cartas, textos religiosos. E entre o material foi encontrado um fragmento de Os Elementos . Este fragmento mostra a Proposição V do segundo livro, incluindo uma figura explicativa.

papyrus

Pelo estilo da escrita (não há intervalos entre as palavras, e as palavras são partidas quando as linhas acabam), pensa-se que o texto de onde sobreviveu este fragmento foi escrito entre 75 d.C. e 125 d.C. , por uma pessoa que não era escriba profissional, possivelmente para uso pessoal.

É esta a mais antiga cópia referente ao trabalho de Euclides? Possivelmente não. Entre 1904 e 1906 foram recuperados da ilha de Elephantine (no Nilo, na fronteira sul do antigo Egipto) seis fragmentos cerâmicos do final do século III a.C. com inscrições referentes a resultados do livro XIII de Os Elementos . No entanto, os textos não são iguais aos da obra de Euclides. Pertencerão a uma outra obra? Seriam de alguém que estaria a estudar Os Elementos ? Para obtermos algumas respostas (e muitas outras questões) temos talvez que esperar que o deserto nos devolva mais papiros...

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Mais Informação:

Autor: Pedro A. Santos (DM-IST)

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