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Sistemas de equações lineares Básico

Publicado em 14/05/2009 

Ficha de Aprendizagem

Síntese

Neste tópico introduz-se o conceito de sistema de equações lineares (SEL) e descreve-se o Método de Eliminação de Gauss como algoritmo sistemático na resolução de SELs.

Palavras-chave
  • Sistema de equações lineares
  • Solução particular
  • Solução geral
  • Matriz aumentada
  • Método de Eliminação de Gauss
  • Operações elementares
  • Matriz em escada de linhas
  • Pivots
  • Variáveis livres e não livres
Objectivos de aprendizagem

A aprendizagem neste tópico envolve o seguinte objectivo:

  • Aprender o Método de Eliminação de Gauss como algoritmo sistemático na resolução de sistemas de equações lineares
Pré-requisitos

Os seguintes conhecimentos são essenciais para a compreensão deste tópico:

  • Matrizes

Definições

Qualquer recta no plano xy pode descrever-se algebricamente através de uma equação da forma

a1x + a2 y = b,

onde a1, a2, b são constantes reais e a1, a2 não são simultaneamente nulos. Uma equação desta forma diz-se uma equação linear nas variáveis x e y. Mais geralmente, uma equação linear nas n variáveis x1,, xn é uma equação da forma

(1)
a1 x1 +…+ anxn = b,

onde a1 ,, an, b são constantes reais e a1,, an não são simultaneamente nulos. As variáveis x1,, xn também se designam por incógnitas. Quando n = 2 e n= 3 é costume usar as variáveis x,y em vez de x1, x2 e x, y, z em vez de x1, x2, x3.

Exemplo 1

As equações

são lineares, enquanto que as equações

não são lineares.

Uma solução particular de (1) é uma sequência de n números reais (s1,, sn) tal que a1s1 + + ansn = b. O conjunto de todas as soluções particulares diz-se o conjunto solução ou a solução geral de (1).

Exemplo 2

Consideremos a equação linear x + 2y = 1. Para determinar a sua solução geral podemos atribuir um valor arbitrário a x e resolver a equação em ordem a y, ou atribuir um valor arbitrário a y e resolver a equação em ordem a x. Se efectuarmos o primeiro procedimento e atribuirmos a x o valor arbitrário t , obtemos . As fórmulas

determinam todas as soluções da equação em função do parâmetro t. Se atribuirmos valores a t, obtemos soluções particulares. Por exemplo, se t = 3 temos a solução (x,y) = (3, -1) e se temos a solução Se efectuarmos o segundo procedimento e atribuirmos a y o valor arbitrário s obtemos x = 1 - 2s. As fórmulas

determinam todas as soluções da equação em função do parâmetro s. Apesar das fórmulas obtidas nos dois procedimentos serem diferentes, ambos os conjuntos solução são iguais quando t e s variam em . Por exemplo, a solução (x,y) = (3,-1), obtida no primeiro procedimento com t = 3, obtém-se no segundo procedimento fazendo s = -1.

Exemplo 3

Consideremos a equação x - y + z = 5. Para determinar a sua solução geral podemos atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e resolver a equação em ordem à terceira variável. Em particular, se fizermos y = t e z = s, com s, t , obtemos x = 5 + t - s. As fórmulas

determinam todas as soluções da equação em função dos parâmetros t e s. Se atribuirmos valores a t,s, obtemos soluções particulares. Por exemplo, se t = 3 e s = 1 temos a solução (x,y,z) = (7,3,1).

Autor e Créditos

Autor:

  • Pedro Matias (Faculdade de Engenharia da Universidade Católica Portuguesa)
 

Referências Bibliográficas

  • [1] Howard Anton e Chris Rorres, Elementary Linear Algebra, Wiley, 2005.
 

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