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Momento angular de um sistema de partículas Avançado

Publicado em 04/09/2004 

No tópico Momento angular, definimos momento angular como sendo a quantidade:

Também foi estabelecida a relação entre a variação ao longo do tempo do momento angular e o momento das forças aplicadas no corpo:

Veremos agora como é que estas relações se comportam para um sistema com vários corpos. Como primeira situação, vamos considerar o caso em que o sistema é composto de dois corpos. Aplicando a equação anterior a cada um deles teremos:

e

sendo que 1 é o momento angular do corpo 1 , 1 o seu vector posição e 1 a força que lhe é aplicada e cujo momento (ou efeito na sua rotação) corresponde a d1/dt e equivalentemente para 2, 2, 2, d 2/dt.

Suponhamos agora que, para além de existir uma força de interacção entre os dois corpos, existem forças externas aplicadas a cada um deles (sendo o sistema não isolado). A força total exercida sobre a primeira partícula será 1+12 e na segunda 2+21 em que 1 é a soma das forças externas aplicadas ao corpo 1 e 12 é a força de interacção do corpo 1 sobre o corpo 2, assim como 2 é a soma das forças externas aplicadas ao corpo 2 e 21 é a força de interacção do corpo 2 sobre o corpo 1. Teremos então:

e

Uma vez que 12 =- 21 , temos que o momento total das forças aplicadas no sistema d /dt, é igual à soma do momento das forças aplicadas na partícula 1 e do momento das forças aplicadas na partícula 2:

Ora, as forças entre os corpos agem ao longo da recta que os une, o que implica que . Ficamos finalmente com:

Podemos generalizar para sistemas compostos de um maior número de partículas e afirmar que a variação do momento angular de um sistema não isolado de várias partículas (seja n o número de partículas) é igual à soma dos momentos das forças exteriores aplicadas a cada partícula do sistema ou, para simplificar, ao momento das forças exteriores aplicadas no seu centro de massa:

No caso de um sistema isolado em que não existem forças exteriores aplicadas ao sistema (também para o caso de um sistema pseudo-isolado em que a soma das forças exteriores é nula, ou seja, em que cada força exterior é compensada pelas outras forças exteriores aplicadas ao sistema), o momento angular conserva-se:

O momento angular de um sistema isolado ou pseudo-isolado de partículas é constante.

Existe assim uma analogia entre o momento angular e a quantidade de movimento (também chamada, devido à esta analogia, momento linear) e entre a conservação do momento linear de um sistema de partículas isolado e a conservação do momento angular num sistema isolado de partículas.

Pode-se assim estabelecer um paralelismo formal entre o movimento de translação e o movimento de rotação, usando os conceitos de momento de uma força em relação a um ponto material P de momento de inércia I, de momento angular de velocidade angular e de aceleração angular e as relações estudadas.

Movimento de translação:

Movimento de rotação:

sendo as duas correspondências estabelecidas entre as primeiras e as segundas equações dos dois tipos de movimento.

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