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Introdução à relatividade geral Intermédio

Publicado em 26/06/2009 

Ficha de Aprendizagem

Síntese

Introdução à motivação teórica e formalismo da Relatividade Geral, incluindo a sua interpretação como extensão da Relatividade Restrita a referenciais acelerados, e a inclusão da Mecânica Clássica como caso limite.

Palavras-chave
  • Relatividade Geral
  • Covariância
  • Métrica
  • Espaço-tempo
  • Tensor impulsão-energia
  • Fluido perfeito
Objectivos de aprendizagem

A aprendizagem neste tópico envolve os seguintes objectivos:

  • Comparar a Relatividade Geral com a Mecânica Clássica de Newton;
  • Distinguir a abordagem da “acção à distância” segundo Newton, de deformação do espaço-tempo pelo conteúdo de matéria e energia, na Relatividade Geral;
  • Identificar ferramentas matemáticas da Relatividade Geral: métrica, tensores.
Pré-requisitos

Os seguintes conhecimentos são essenciais para a compreensão deste tópico:

Um universo cheio de curvas

Para fechar o círculo de inspiração de Einstein, faltava relacionar a equivalência da massa inercial e gravítica com a Relatividade Restrita, sem a qual este não acreditava ser possível compreender os fenómenos físicos. E, de facto, a referida teoria é ”Restrita”porque a análise da relatividade do espaço e do tempo (ou, melhor, do espaço-tempo como um todo) implica a comparação da medida destas grandezas entre observadores com velocidades diferentes, mas constantes. Einstein concluiu então que, para generalizar a Relatividade, era necessário que esta fosse aplicada a corpos dotados de aceleração. E se, como acreditava, a aceleração é equivalente à gravidade, então uma teoria da Relatividade Geral seria forçosamente uma teoria de Gravitação, e vice-versa!

Einstein avançou então para a construção desta nova teoria. Para Newton, um corpo será desviado do movimento uniforme (repouso ou movimento rectilíneo com velocidade constante) pela acção a distância das forças existentes. Einstein adoptou uma postura radicalmente diferente, ao relacionar o movimento dos corpos com a geometria do espaço e do tempo, não com forças responsáveis pela trajectória. Simplificadamente, eis a diferença entre o seu pensamento e a mecânica clássica: para Newton, um corpo mantém-se com movimento uniforme rectilíneo até que uma força desvie a sua trajectória; para Einstein, um corpo segue sempre o caminho mais curto entre dois pontos (as chamadas geodésicas); são o próprio espaço e tempo que vão mudar de ”forma”, fazendo com que estes caminhos mais curtos deixem de ser rectilíneos!

Matematicamente, dizemos que um espaço plano se caracteriza por geodésicas que são segmentos de recta unindo os dois pontos; no entanto, numa geometria esférica, tal não será o caso. O exemplo mais familiar é o da superfície terrestre, em que o caminho mais próximo entre dois pontos é um arco do chamado ”grande círculo”, circunferência com o mesmo diâmetro que o da Terra.

Pedro Nunes, Cosmógrafo Real

Como curiosidade, note-se que foi Pedro Nunes quem provou a distinção entre estas curvas e as chamadas loxodrómicas, que dão o percurso seguido se se mantiver um navio sempre a rumar ”em frente”. Num espaço plano, pode-se obviamente alcançar um determinado destino apontando para este e seguindo a recta resultante; no caso do globo terrestre, a curva loxodrómica seguida ao apontar inicialmente para um objectivo não irá passar por este, mas espiralar em direcção a um dos pólos! Como tal, são necessárias correcções constantes no rumo, para seguir o caminho mais curto entre dois pontos (o grande círculo que passa por estes).

Projecção estereoscópica do hemisfério Norte

Fig. 1 - Projecção estereoscópica do hemisfério Norte, com os grandes círculos (geodésicas) e loxodrómicas (espirais) representadas (créditos: Carlos A. Furuti (1996, 1997).

Esta e outras conclusões são o objecto de estudo da geometria não-Euclideana, assim chamada porque não se baseia nos axiomas do grande matemático grego Euclides, cujos estudos se aplicam apenas a espaços planos; entre outros resultados, mostra que teorema de Pitágoras não é válido em espaços curvos, ou que o quinto axioma de Euclides — que, numa formulação simplificada, afirma que duas rectas paralelas não convergem nem divergem uma da outra, ou que os ângulos de um triângulo somam 180 graus.

Soma dos ângulos internos diferentes de 180 graus

Fig. 2 - Soma dos ângulos internos diferente de 180 graus (créditos: Lars H. Rohwedder e Timothy D. Brauning).

Autor e Créditos

Autor:

Créditos:

  • Pedro Abrantes
  • Carla Pessoa
 

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Referências Bibliográficas

  • [1] Pais A., Subtil é o Senhor - Vida e pensamento de Albert Einstein, Gradiva Publicações, 1999.
  • [2] Geroch R., General Relativity from A to B, University of Chicago Press, 1978.
  • [3] Bondi H., Relativity and Common Sense, New York Dover, 1964.
  • [4] Sklar L., Space, Time, and Spacetime, University of California Press, 1974.
 

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